수익률 스프레드와 듀레이션

수익률 스프레드

1) 위험채권의 약속수익률과 무위험이자율간의 차이를 수익률 스프레드라고 함.

2) 스프레드는 채무불이행위험에 대한 프리미엄과 채무불이행위험 이외의 위험요인에 대한 프리미엄으로 나눌 수 있음.

 

채권분석을 공부할 때 많이 등장하는 용어 가운데 듀레이션과 볼록성이라는 것이 있습니다. 볼록성을 질문하실 정도면 듀레이션은 알고 있을 것이라 사료되어 이 부분에 대한 설명은 생략하겠습니다.

일단 듀레이션이라 함은 이자율 변동에 따른 채권가격의 변동을 의미하게되며 볼록성은 이러한 듀레이션의 변화량이라고 할 수 있습니다. 이자율이 변화함에 따라 채권의 듀레이션이 변하여 채권수익률의 볼록성이 존재하게 되는 것이지요. 이자율의 변화가 작을 경우에는 듀레이션의 변화자체가 작기 때문에 일반적으로 볼록성이 무시되지만, 이자율이 크게 변할 경우 듀레이션의 변화가 커서 볼록성이 중요하게 고려되어집니다.

듀레이션만으로는 이자율의 변화에 따른 가격위험을 정확하게 측정할 수 없으며, 볼록성이 동시에 고려되어야 한다는 애기이지요. 이러한 특성을 고려하여 도입된 개념이 볼록성으로 질문하신 분이 궁금해하는 수식으로 표시가 됩니다.

위 식의 도출과정을 이해하기 위해서는 테일러정리에 대한 이해가 선행되어야 합니다.

우선 테일러정리에 대한 기본정의는 다음과 같습니다.

함수 Y=f(x)의 갑을 어떤 임의의 점 a를 중심으로 도함수에 의해 평가하고자 할 때 적용되는 개념으로 x-a=h 라 하면,

f(x)=f(a+h) 로 표시되며. 이는 곧 수학적으로

f(a+h) = f'(a)+f'(a)*h + 1/2*f"(a)*h^2 + 1/3*f"'(a)*h^3 + ....

으로 표현할 수 있다입니다.[ ' 부호는 미분표시. '는 1차미분 값, "는 2차미분 값, "'는 3차미분 값]

위 내용을 증명하기 위해서는 다시금 테이러정리에 대한 증명이 필요한데, 니의 증명은 너무나도 내용이 긴 관계로 본문에서는 생략하고, 정 궁금하시다면 다시금 질문을 올려주셨으면 합니다.

그럼 계속해서 설명드리면 다음과 같습니다.(d 는 수학표현 상 델타개념임)

이자율변화 전의 채권가격을 P(r)이라고 할 때, 이자율이 dr만큼 변화한 후에 채권의 가격을 P(r+dr)이라 표현할 수 있습니다. 이 때 이자율 변화에 대한 채권가격의 변동을 테일러정리식에 의해 표시하면 아래와 같습니다.

P(r+dr) = P(r) + P'(r)dr + 1/2*P"(r)dr^2 + (이하 3차 이상의 합)

채권가격의 변동을 dP라 하면,

dP = P(r+dr) -P(r) 이 됩니다.

위 식을 다시 테일러정리에 의해 전개하게 되면

dP = P(r+dr) -P(r)
= P'(r)dr + 1/2*P"(r)dr^2 + (3차이상의 합)
= (dp/P)*dr + 1/2*[(d^2*P)/(dr^2)](dr)^2 + (3차이상의 합)

이 됩니다.

따라서 채권가격의 변화율은


dP/P = (dP/dr)*(1/P)*(dr) + 1/2*[(d^2P)/(d*r^2)]*(1/P)*(dr^2) + (3차이상의 합)/P

l-----------------l l-------------------------------l l---------------l
(a) (b) (c)

위 식에서 (a)는 채권의 듀레이션에 의한 가격변화율을 나타내며 (b)는 채권의 볼록성에 의한 가격변화를 나타냅니다. 이 떼 (c)에 의한 변화는 실제의 이론적 가격화율을 구할 경우에는 그 값이 미미하므로 일반적으로 무시하게 됩니다.

수학적으로 표현하자면, t가 1부터 n까지 인데, t=1인 경우는 위 식의 (b)의 값을 애기하며 t>1의 값은 (c)의 값을 표현합니다. 즉 (c)의 n차항에서 n->무한대 의 수렴이므로 시그마로서 표현을 하게 됩니다.